三角函数公式汇总+记忆（没有比这更全）
温馨提示：内容较长，需耐心观看
目录 一、定义式 二、函数公式 a.倒数关系 b.商数关系 c.平方关系 三、诱导公式 四、基本公式 a.两角和差公式 b.三角和公式 c.积化和差公式 d.和差化积公式 e.倍角公式 f.半角公式 g.万能公式 h.辅助角公式 五、反三角函数
三角函数公式包括和差角公式、和差化积公式、积化和差公式、倍角公式、诱导公式等。
本文重点：巧记和差化积、积化和差公式 （很多小伙伴记了就忘，忘了又记）
01 定义式
三角函数公式是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数公式。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射，通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。
02 函数公式
倒数关系:
商数关系：
平方关系：
03 诱导公式
1.公式1：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等
sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)
cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)
tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)
cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)
2.公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系
sin(π+α) ＝ －sinα
cos(π+α)＝－cosα
tan(π+α)＝ tanα
cot(π+α)＝cotα
3.公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系
sin(－α)=－sinα
cos(－α)=cosα
tan(－α)=－tanα
cot(－α)=－cotα
4. 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系
sin(π－α)=sinα
cos(π－α)=－cosα
tan(π－α)=－tanα
cot(π－α)=－cotα
5、公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系
sin(2π－α)=－sinα
cos(2π－α)=cosα
tan(2π－α)=－tanα
cot(2π－α)=－cotα
6、公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系
sin(π/2+α)=cosα
sin(π/2－α)=cosα
cos(π/2+α)=－sinα
cos(π/2－α)=sinα
tan(π/2+α)=－cotα
tan(π/2－α)=cotα
cot(π/2+α)=－tanα
cot(π/2－α)=tanα
记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限，即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函 数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。
04 基本公式：
4.1. 二角和差公式
口诀（正余弦两角和差公式）：
赛壳壳赛符号同，壳壳赛赛符号异。
1）正弦和差前后同号，余弦和差前后异号
2）正弦和差公式始终是sin与cos相乘; 余弦和差公式始终是cos与cos相乘，sin与sin相乘
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
再说一下tan和差公式的记忆。
由下图可以看到，tan和差公式的右边分式，分子与分母符号是不同的，而左边与分子符号又是相同的。这样我们就能通过左边确定等式右边的符号。
再记住上加下乘，就能把tan的每一项记住了。
4.2三角和公式
注意！注意！注意！
人间大炮一级准备!!！
4.3 积化和差公式：
sinαcosβ=sin(α+β)+sin(α−β)2cosαsinβ=sin(α+β)−sin(α−β)2cosαcosβ=cos(α+β)+cos(α−β)2sinαsinβ=−cos(α+β)−cos(α−β)2
4.3.1 口诀法：
正余余正，正加正减；
余余正正，余加负余减。
d. 和差化积公式：
正加正，正在前；
正减正，余在前；
余加余，余并肩；
余减余，负正弦。
“两个口诀互逆，但推荐分别记忆，这样用起来会非常快！！
敲黑板，下面重点。
人间大炮二级准备!!!
前后项数统一：
- 积是一项，化和差后要 ÷2 ；
- 和差是两项，化积后要成 ×2 。
内外项数统一：
- 括号内变量都是先 α+β ，再 α−β 。
- 化和差后是两项， α±β 两项不变；
- 化积后是一项， α±β 要 ÷2 变一项。
4.3.2 帅哥记忆法：
积化和差只需反过来说，即：
- 帅哥=帅+帅
- 哥帅=帅-帅
- 哥哥=哥+哥
- 负嫂嫂=哥-哥
本人更喜欢第一种方法，直接记忆好记并且快。
4.4. 倍角公式：
◆ 二倍角公式
推论： 升幂缩角公式
降幂扩角公式
运用二倍角公式就是升幂，将公式Cos2α变形后可得到降幂公式。
◆ 三倍角公式
◆ 四倍角公式
sin4a=−4∗[cosa∗sina∗(2∗sina2−1)]
cos4a=1+(−8∗cosa2+8∗cosa4)
tan4a=(4∗tana−4∗tana3)/(1−6∗tana2+tana4)
◆ 五倍角公式
◆ 半角公式
（正负由 α/2 所在的象限决定）
4.5.万能公式
4.6辅助角公式
4.7. 余弦定理
4.8. 三角函数公式算面积
定理：
在△ABC中，其面积就应该是底边对应的高的1/2，不妨设AD边对应的高是BC，那么△ABC的面积就是BC*AD*1/2。而AD是垂直于BC的，这样△ADC就是直角三角形了，由此可以得出， AD=ACsinC，将这个式子带回三角形的计算公式中就可以得到：S△ABC= 1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB
同理，即可得出三角形的面积等于两邻边及其夹角正弦值的乘积的一半。
◆ 公式：
若△ABC中角A，B，C所对的三边是a,b,c：
则S△ABC= 1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB
4.9. 反三角函数
在数学中，反三角函数(偶尔也称为弧函数，反严密函数或圈度量函数)是三角函数的反函数(具有适当限制的域)。具体而言，它们是正弦、余弦、正切、余切、正割和余割的逆函数，并用于从任何角度的三角比获得角度。
反三角函数主要是三个：
＝y＝arcsin(x)，定义域[-1,1] ，值域[-π/2,π/2]
y=arccos(x) ，定义域[-1,1] ， 值域[0,π]
y=arctan(x) ，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)
sinarcsin(x)=x, 定义域[-1,1],值域 【-π/2,π/2】
4.10反三角函数公式:
余角关系
负数关系
倒数关系
同角关系
另外
sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)
当 〔，〕时，有x∈〔—π/2，π/2〕时，有arcsin(sinx)=x
〔〕x∈〔0,π〕,arccos(cosx)=x
，x∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=x
，x∈(0，π),arccot(cotx)=x
类似x〉0,arctanx=π/2−arctan1/x,arccotx类似
若 ，(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),
则arctanx+arctany=arctan(x+y/1−xy)
结语：如有发现错误，敬请指摘！可能是不小心打错的，毕竟公式这么多（我真会给我自己找台阶下）
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