标准差的定义和公式

一、标准差的定义和公式

1、标准差

标准差是方差的算术平方根,用$σ$表示。标准差也被称为标准偏差。

标准差是反映一组数据离散程度最常用的一种量化形式,是表示精确度的重要指标。

2、标准差公式

$S=\sqrt{\frac{1}{n}\left[ (x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2 \right]}$。

3、方差:设有$n$个数据$x_1$,$x_2$,$\cdots$,$x_n$,各数据与它们的平均数$\overline{x}$的差的平方分别是$(x_1-\overline{x})^2$,$(x_2-\overline{x})^2$,$\cdots$,$(x_n-\overline{x})^2$, 我们用这些值的平均数,即用$\frac{1}{n}$$\left[ (x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2 \right]$来衡量这组数据波动的大小,并把它叫做这组数据的方差,记作$s^2$。

4、方差公式

$s^2=\frac{1}{n}$$\left[ (x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2 \right]$。

5、标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小。显然,在刻画数据的分散程度上,方差和标准差是一样的。但在解决实际问题中,一般多采用标准差。

二、标准差的相关例题

数据5,7, 7,8, 10, 11的中位数和标准差分别为

A.中位数为7 ,标准差为2

B.中位数为7 ,标准差为4

C.中位数为7.5 ,标准差为4

D.中位数为7.5 ,标准差为2

答案:D

解析:数据按顺序排列5, 7 , 7,8, 10, 11 ,所以中位数是$\frac{7+8}{2}=7.5$,平均数是$\overline{x}$=$\frac{1}{6}×$(5+7+7+8+10+11)=8,标准差$s$=$\sqrt{\frac{1}{6}\left[ (5-8)^2+(7-8)^2+(7-8)^2 +(8-8)^2+(10-8)^2+(11-8)^2 \right]}$=2。故选:D

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