三角形重心的性质和定义

一、三角形重心的性质和定义

1、三角形的重心

(1)定义

三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心。

(2)重心的性质

①三角形的重心到边的中心与到相应顶点的距离之比为1∶2。

②重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。

③重心到三角形三个顶点距离的平方和最小(等边三角形)。

④三角形重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

2、三角形的内心

(1)定义

三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)。

(2)内心的性质

①三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径。

②内切圆半径$r$的计算:设三角形面积为$S$,并记$P$=$\frac{1}{2}$($a$+$b$+$c$),则$r$=$\frac{S}{P}$。

③特别的,在直角三角形中,有$r$=$\frac{1}{2}$($a$+$b$-$c$)($r$为三角形内切圆半径)。

3、三角形的外心

(1)定义

三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)。

(2)外心的性质

①三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等,都等于三角形的外接圆半径。

②锐角三角形的外心在三角形内。

③直角三角形的外心在斜边中点。

④钝角三角形的外心在三角形外。

⑤等边三角形外心与内心为同一点。

二、三角形重心的性质的相关例题

给出以下判断:

(1)线段的中点是线段的重心

(2)三角形的三条中线交于一点,这一点就是三角形的重心

(3)平行四边形的重心是它的两条对角线的交点

(4)三角形的重心是它的中线的一个三等分点

那么以上判断中正确的有___

A.一个 B.两个 C.三个 D.四个

答案:D

解析:(1)线段的中点到线段两个端点的距离相等,为线段的重心,正确;(2)三角形的中线平分三角形的三条边,所以三条中线的交点为三角形的重心,正确;(3)平行四边形对角线的交点到平行四边形对角顶点的距离相等,为平行四边形的重心,正确;(4)利用平行可得三角形的重心把中线分为1∶2两部分,所以是它的中线的一个三等分点,正确,故选D。

 

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